Wie lange werden die Restriktionen der Corona-Pandemie andauern?

Eine Prognose von Stefan Ankirchner und Julian Wendt vom 08.04.2020 (mit Aktualisierungen vom 16.04.2020).

Wir wollen im Folgenden schätzen, wie lange aufgrund der Corona-Pandemie die Kontakte zu Mitmenschen eingeschränkt werden müssen. Hierzu führen wir eine Modellrechnung durch.

Grundlage unserer Berechnung ist das SEIR-Modell, mit dem auch das Robert-Koch-Institut seine Prognosen über den weiteren Verlauf der Corona-Pandemie trifft (siehe an der Heiden, Buchholz [1]).

Im SEIR-Modell wird die Bevölkerung in folgende 4 Gruppen unterteilt: Empfängliche (S - "susceptible"), latent Infizierte (E - "exposed"; infiziert, aber noch nicht infektiös), Infektiöse (I - "infectious") und Genesene oder Verstorbene (R - "recovered"). Zu jedem Zeitpunkt t gehört jeder Bürger genau einer dieser 4 Untergruppen an. Wir nehmen an, dass die Bevölkerungsgröße konstant gleich $N$ während des gesamten Verlaufs der Pandemie ist. Somit gilt zu jedem Zeitpunkt $S_t + E_t + I_t + R_t = N$. Die zeitliche Dynamik der Größe dieser 4 Gruppen wird beschrieben durch folgende Differentialgleichungen: \begin{align*} \dot{S}_t & = - \beta \frac{S_t I_t}{N} \\ \dot{E}_t & = \beta \frac{S_t I_t}{N} - a E_t\\ \dot{I}_t & = a E_t - \gamma I_t\\ \dot{R}_t & = \gamma I_t \end{align*} Der Parameter $\beta$ beschreibt die Rate, mit der die Krankheit übertragen wird. Wir bezeichnen im Folgenden $\beta$ als Ausbreitungsrate. Der Parameter $a$ beschreibt, wie schnell ein Infizierter ansteckend wird. Schließlich beschreibt $\gamma$ wie schnell eine infektiöse Person gesundet bzw. verstirbt und folglich nicht mehr infektiös ist. In unseren numerischen Experimenten nehmen wir folgende geschätzte Werte für die drei Parameter an: $\beta = 0.3$, $\gamma = 0.1$, $a = 1/3$. Der Wert für $\beta$ wurde aus den Schätzungen des Robert-Koch-Instituts [4] und von an der Heiden, Hamouda [2, S.13ff] übernommen (siehe auch die Bemerkungen am Ende des Artikels), die Werte für $\gamma$ und $a$ stammen hingegen aus [1]. Der Wert für $\beta$ ist hierbei der geschätzte Wert für eine ungebremste Verbreitung des SARS-CoV-2-Virus.

In der aktuellen Corona-Epidemie ist die Ausbreitungsrate $\beta$ nicht konstant, sondern zeitabhängig. Die Regierung hat Maßnahmen ergriffen, wie z.B. Schulschließungen und Ausgangsbeschränkungen, um die Kontakte zwischen den Bürgern und damit auch $\beta$ zu reduzieren. Ein wichtiger Grund für die Kontaktrestriktionen der Regierung liegt darin, dass nur eine begrenzte Anzahl an Erkrankten auf Intenstivstationen behandelt werden können. Die Maßnahmen der Regierung zielen darauf ab, dass die Anzahl der Betten auf den Intensivstationen jederzeit ausreicht. Mit anderen Worten, die Regierung will den zeitlichen Verlauf der Ausbreitungsrate $\beta_t$ so steuern, dass jederzeit alle Corona-Patienten, die eine Intensivbehandlung benötigen, diese auch erhalten.

Wir wollen nun ein $\beta_t$ so bestimmen, dass möglichst wenig Restriktionen eingeführt werden und zugleich die Betten auf den Intensivstationen immer ausreichen. Hierfür erweitern wir das SEIR-Modell um folgende Größen:

$W =$ Anzahl der Infektiösen ohne Symptome,

$Sym =$ Anzahl der Infektiösen mit Anfangssymptomen,

$K =$ Anzahl der Infektiösen mit Symptomen, die nicht im Krankenhaus behandelt werden,

$H =$ Anzahl der Infektiösen, die kürzlich ins Krankenhaus eingeliefert wurden und bei denen noch nicht klar ist, ob eine Intensivbetreuung notwendig wird,

$H1 =$ Anzahl der Infektiösen im Krankenhaus, die keine Intensivbetreuung benötigen,

$H2 =$ Anzahl der Infektiösen im Krankenhaus, die auf der Intensivstation liegen.

Die zeitliche Entwicklung dieser neuen Modellgrößen beschreiben wir mit folgendem System von Differentialgleichungen: \begin{align*} \dot{W}_t & = a E_t - \frac12 W_t \\ \dot{Sym}_t & = \frac12 W_t - 0.045 \frac14 Sym_t - 0.955 \frac14 Sym_t\\ \dot{K}_t & = 0.955 \frac14 Sym_t - 0.2 K_t\\ \dot{H}_t & = 0.045 \frac14 Sym_t - H_t \\ \dot{H1}_t & = \frac34 H_t - \frac{1}{13} H1_t\\ \dot{H2}_t & = \frac14 H_t - \frac{1}{10} H2_t \end{align*} Die Zahlen in den Differentialgleichungen haben wir aus den Werten in Abb. 1 in [1] hergeleitet.

Gegeben sei eine Schranke $\bar H2$ an H2. Diese Schranke wird nicht gerissen, falls man folgende Ausbreitungsrate wählt: \begin{align*} \beta^*_t = \min(\beta, \frac{2}{5 } \frac{1}{0,045} \frac{N}{S_t I_t} \bar{H2}). \end{align*} (Dieses $\beta^*$ garantiert, dass $\dot{H2}_t \le 0$ ist, falls $H2_t = \bar{H2}$).

Im Folgenden analysieren wir den Verlauf der Corona-Pandemie, falls zu jedem Zeitpunkt $t$ die Ausbreitungsrate durch $\beta^*_t$ gegeben ist. Wir nehmen hierbei an, dass durchgehend $\bar H2 = 16000$ Intensivbetten mit Beatmungsgeräten für die Behandlung von Corona-Patienten zur Verfügung stehen (vgl. [3]). Des Weiteren nehmen wir an: $N = 83$ Millionen und $E_0 = 1000$, $I_0 = R_0 = W_0 = Sym_0=K_0=H_0 = H1_0 =H2_0 = 0$.

Ergebnisse

Mit folgendem Python-Programm bestimmen wir näherungsweise den zeitlichen Verlauf der Modellgrößen:

In [1]:
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

# Total population, N.
N = 83000 # in thousand persons
# Initial number of infected and recovered individuals, I0 and R0.
E0, I0, R0 = 100, 0, 0
# Everyone else, S0, is susceptible to infection initially.
S0 = N - I0 - R0 - E0
# Other initial values
e0, K0, H10, H20, T0, G0, Sym0, H0 = 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
# Contact rate, beta, and mean recovery rate, gamma, (in 1/days).
beta, gamma, a = 0.3, 1/10, 1/3 
# boundary ICU
barH2 = 16
# A grid of time points (in days)
dt = .1
ltvec = 10000
tvec = np.linspace(0, ltvec+1, ltvec+1)
S = np.zeros(ltvec+1)
E = np.zeros(ltvec+1)
I = np.zeros(ltvec+1)
R = np.zeros(ltvec+1)

e = np.zeros(ltvec+1)
K = np.zeros(ltvec+1)
H1 = np.zeros(ltvec+1)
H2 = np.zeros(ltvec+1)
T = np.zeros(ltvec+1)
G = np.zeros(ltvec+1)
Sym = np.zeros(ltvec+1)
H = np.zeros(ltvec+1)

damping=np.zeros(ltvec+1)

S[0]=S0
E[0]=E0
I[0]=I0
R[0]=R0

e[0]=e0
K[0]=K0
H1[0]=H10
H2[0]=H20
T[0]=T0
G[0]=G0
Sym[0]=Sym0
H[0]=H0

for t in range(ltvec):
    cbeta = min(beta,(2*N*barH2)/(max(1,S[t]*I[t])*5*0.045))
    damping[t] = cbeta/beta
    S[t+1] = S[t] - cbeta * S[t] * I[t] / N * dt
    E[t+1] = E[t] + (cbeta * S[t] * I[t] / N - a * E[t]) * dt
    I[t+1] = I[t] + (a * E[t] - gamma * I[t]) * dt
    R[t+1] = R[t] + gamma * I[t] * dt
    e[t+1] = e[t] + (a * E[t] - 1/2 * e[t]) * dt
    Sym[t+1] = Sym[t] + (1/2 * e[t] - 0.045 * 1/4 * Sym[t] - 0.955 * 1/4 * Sym[t]) * dt
    K[t+1] = K[t] + (0.955 * 1/4 * Sym[t] - 1/5 * K[t]) * dt
    H[t+1] = H[t] + (0.045 * 1/4 * Sym[t] - H[t]) * dt
    H1[t+1] = H1[t] + (3/4 * H[t] - 1/13 * H1[t]) * dt
    H2[t+1] = H2[t] + (1/4 * H[t] - 1/10 * H2[t]) * dt
    T[t+1] = T[t] + 1/2 * 1/10 * H2[t] * dt
    G[t+1] = G[t] + (1/5 * K[t] + 1/13 * H1[t] + 1/2 * 1/10 * H2[t]) * dt

Das folgende Bild zeigt den zeitlichen Verlauf, über 1000 Tage, des Anteils der Suszeptilen und des Anteils der Genesenen bzw. Verstorbenen an der Gesamtbevölkerung.

In [2]:
fig = plt.figure(facecolor='w')
ax = fig.add_subplot(111, axisbelow=True)
plt.plot(tvec, S/N, 'b', alpha=0.5, lw=2, label='Empfänglich')
plt.plot(tvec, R/N, 'g', alpha=0.5, lw=2, label='Genesen oder Verstorben')
plt.xlabel('Zeit in Tagen')
ax.set_ylabel('Anteil der Gesamtbevölkerung')
plt.xticks([1000, 2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,9000,10000],['100', '200', '300', '400','500','600','700','800','900','1000'])
plt.xlim([0,10000])
plt.xlim([0,ltvec])
plt.ylim([0,1.1])
ax.yaxis.set_tick_params(length=0)
ax.xaxis.set_tick_params(length=0)
ax.grid(b=True, which='major', c='w', lw=2, ls='-')
legend = ax.legend()
legend.get_frame().set_alpha(0.5)
for spine in ('top', 'right', 'bottom', 'left'):
    ax.spines[spine].set_visible(False)
plt.show()

Das folgende Bild zeigt die Auslastung der zur Verfügung stehenden 16000 Intensivbetten. Man sieht, dass über ein Jahr lang alle Betten voll ausgelastet werden.

In [3]:
plt.plot(tvec,H2)
plt.xlabel('Zeit in Tagen')
plt.ylabel('Anzahl der belegten Intensivbetten')
plt.xticks([1000, 2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,9000,10000],['100', '200', '300', '400','500','600','700','800','900','1000'])
plt.yticks([2,4,6,8, 10,12,14,16],['2000', '4000','6000','8000','10000','12000','14000','16000'])
plt.xlim([0,ltvec])
plt.ylim([0,17])
plt.show()

Das folgende Bild beschreibt den zeitlichen Verlauf von $\beta^*_t / \beta$. Dieser Quotient beschreibt wie stark die Ausbreitungsrate gesenkt werden muss. Wir sehen, dass mehr als 400 Tage lang die übliche Ausbreitungsrate gesenkt werden muss. Das Bild zeigt weiterhin, dass schnell starke Restriktionen eingeführt werden müssen, und diese dann gleichmäßig über 400 Tage gelockert werden.

In [4]:
plt.plot(tvec[1:5000],damping[1:5000])
plt.xlabel('Zeit in Tagen')
plt.xticks([1000, 2000,3000,4000,5000],['100', '200', '300', '400','500'])
plt.xlim([0,5000])
plt.show()

Bemerkungen

  1. Die Überlegungen zeigen nur, wie lange und wie stark die Ausbreitungsrate $\beta$ reduziert werden muss. Sie geben keinerlei Aufschluss darüber, mit welchen Maßnahmen die Rate reduziert werden wird. Zum Beispiel ist eine Reduktion von $\beta$ bereits möglich durch flächendeckendes und häufiges Testen. Sobald dies realisierbar ist, müssen nur noch positiv Getestete Restriktionen hinnehmen.

  2. In unser Modellrechnung gehen wir davon aus, dass man eine Überlastung des Gesundheitssystems verhindern will mit möglichst wenig Restriktionen für die Bevölkerung. Aktuell scheint jedoch das Ziel der Regierung darin zu bestehen, die Infektionsketten jedes Infizierten zurück verfolgen zu können. Um dies sicher zu stellen und eine Überlastung der Gesundheitsämter zu verhindern, sind vermutlich noch stärkere Restriktionen als in der obigen Berechnung erforderlich.

  3. Die Wahl von der Ausbreitungrate $\beta$ hängt stark davon ab, welche Basisreproduktionsrate $R_0$ man für das Modell voraussetzt. In unserem Modell haben wir uns für $R_0=3$ (d.h. $\beta=0.3$) entschieden, da das Robert-Koch-Institut angibt, dass verschiedene Studien den Wert für $R_0$ zwischen $2.4$ und $3.3$ verorten (siehe [4]). Des Weiteren wird in [2, S.13 ff] geschätzt, dass die effektive Reproduktionszahl von SARS-CoV-2 Anfang März in Deutschland bei etwa $3$ lag, weshalb unsere Wahl von $R_0=3$ plausibel erscheint. Bei Berechnungen mit einer Basisreproduktionsrate $R_0=2$ (d.h. $\beta=0.2$), wie in [1], kamen wir qualitativ zu den gleichen Ergebnissen wie oben.

Referenzen

[1] an der Heiden M, Buchholz U: Modellierung von Beispielszenarien der SARS-CoV-2-Epidemie 2020 in Deutschland. | DOI 10.25646/6571.2

[2] an der Heiden M, Hamouda O: Schätzung der aktuellen Entwicklung der SARS-CoV-2-Epidemie in Deutschland – Nowcasting. | DOI 10.25646/6692.2

[3] Deutsche Krankenhausgesellschaft: Coronavirus - Fakten und Infos. Abgerufen am 16.04.2020 von https://www.dkgev.de/dkg/coronavirus-fakten-und-infos/

[4] Robert-Koch-Institut: SARS-CoV-2 Steckbrief zur Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19). Abgerufen am 16.04.2020 von https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/Steckbrief.html#doc13776792bodyText3

In [ ]: